Математика не для всех

Математика не для всех pinned a photo

Нужные статьи с arXiv прямо в Telegram Следите за новыми исследованиями без ежедневного просмотра сотен аннотаций. В arXiv-боте можно настроить подписки по темам, авторам и научным разделам. Бот пришлёт подходящие публикации со ссылками на работы. Получать уведомления можно по мере появления статей или одной ежедневной подборкой. Всё бесплатно и без ограничений 👉 Настроить свою научную ленту

Подборка arXiv · 25.10.2026 1. Как обойти сеть, в которой связи меняются со временем Как посетить все вершины сети, если связи меняются на каждом шаге, но сеть остаётся связной? Авторы используют разбиение вершин на классы по структурным признакам. Если таких классов мало, заявленная гарантия времени обхода существенно лучше известной для произвольных сетей. Сам маршрут можно построить за время, ограниченное многочленом от размера входных данных. Важен не только размер изменчивой сети, но и разнообразие ролей её вершин. Это позволяет получить более сильную гарантию времени обхода. 2. Как оценивать редкие события без роста числа испытаний Как оценить вероятность события, которое почти никогда не возникает в моделировании? Авторы предлагают чаще генерировать нужные исходы с учётом геометрии области события, а затем корректировать их веса. Для нового способа они заявляют, что при уменьшении шума относительный разброс оценки стремится к нулю и число испытаний можно не увеличивать. Доказательство включает отсечения, сохраняющие рассматриваемую область с высокой вероятностью. Просто сделать редкое событие более частым недостаточно для точной оценки. Работа показывает, зачем учитывать ещё и форму области нужных исходов. 3. Какая поверхность экономнее всего заполняет заданный контур Какая поверхность имеет наименьшую площадь при заданной границе? Авторы строят диски из плоских граней в пространствах двух, трёх и четырёх измерений, где расстояние задаёт наибольшее различие координат. Вспомогательные величины дают нижнюю границу площади, которой эти диски достигают. Авторы заявляют минимальность среди метрических токов, обобщённых поверхностей с учётом ориентации и кратности покрытия. Даже в непривычной геометрии удаётся явно построить поверхность и обосновать, что никакая допустимая замена с той же границей не экономит площадь. Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех». Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #Математика #arXiv #Исследования

Часть 2 из 2 Важная часть исследования состоит в инструментах контроля вырождения. Авторы разработали оценки того, как часто структурированные семейства матриц приближаются к сингулярным конфигурациям. Другая линия методов позволяет единообразно работать с семействами многочленов высоких степеней. Третья касается подсчёта матриц ограниченного ранга, у которых размерность образа не превышает заданной границы. Эти инструменты связывают распределение определителей с изучением вырожденных и почти вырожденных матриц. О предполагает, что методы могут пригодиться для целочисленных и алгебраических матриц, структур низкого ранга и полиномиальных величин, связанных с матрицами и тензорами. В частности, она допускает применение сходного подхода к определителям симметрических матриц. Это перспектива дальнейших исследований. В самой задаче о решётках уже существенен конкретный вывод о подсчёте матриц с нулевым определителем. Их вклад иногда имеет тот же порядок, что и главный член, и требует самостоятельного учёта. Источник Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #ТеорияЧисел #Матрицы #Определители #Решётки

Часть 1 из 2 Как распределяются определители на решётке матриц Как часто среди матриц встречаются разные значения определителя? Если матрицы образуют бесконечную решётку, вопрос становится задачей о закономерностях подсчёта. Именно её исследуют Вуён Ким и Хи О в работе Determinant Values on Lattices. Решётку здесь можно представить как дискретную регулярную сетку в пространстве матриц. Каждая её точка задаёт квадратную матрицу размера d × d, где d обозначает число строк и число столбцов. Исследователи расширяют рассматриваемую область сетки и выясняют, как часто у попавших в неё матриц встречаются разные значения определителя. Определитель представляет собой число с геометрическим смыслом. Его модуль показывает, во сколько раз линейное преобразование изменяет объём. При нулевом определителе образ преобразования имеет меньшую размерность, чем исходное пространство. Такие матрицы называют сингулярными, или вырожденными. Ненулевой определитель гарантирует существование и единственность решения квадратной линейной системы с этой матрицей. Главный результат Кима и О касается подсчёта ненулевых значений. При отсутствии определённого арифметического препятствия они подчиняются закономерной, предсказуемой картине. Теорема относится к диофантовым решёткам, удовлетворяющим специальным арифметическим условиям. О называет решётки с алгебраическими элементами конкретными примерами. Результат не следует понимать как утверждение о любой решётке или о равномерном вероятностном распределении на всей вещественной прямой. Отдельного учёта требует значение ноль. Для некоторых решёток вырожденных матриц настолько много, что они дают дополнительный член того же порядка, что и главный член формулы подсчёта. Этот вклад нельзя отбросить как малую поправку. Авторы определяют, когда он возникает. Поэтому описание ненулевых определителей составляет лишь часть общей картины. Истоки задачи связаны с гипотезой Оппенгейма, доказанной Григорием Маргулисом в 1987 году. Она касается квадратичных форм, то есть выражений, составленных из квадратов переменных и их попарных произведений с числовыми коэффициентами. Коэффициенты формы можно записать в симметричную матрицу. Форму называют невырожденной, если определитель этой матрицы ненулевой, и неопределённой, если она принимает значения обоих знаков. Теорема утверждает следующее. Если вещественная квадратичная форма невырожденна, неопределённа, содержит не менее трёх переменных и не пропорциональна форме с целыми коэффициентами, то её значения на целочисленных векторах плотны на вещественной прямой. Это означает, что они попадают в любой открытый интервал, в частности могут подходить сколь угодно близко к нулю. Плотность ещё не отвечает на вопрос, сколько таких попаданий произойдёт в растущей области. Это уже количественная задача. Определитель матрицы 2 × 2 является квадратичным выражением, что связывает задачу о матричных решётках с количественными работами Маргулиса и его соавторов. Исследование Кима и О продолжает эту линию для определителей. О возвращалась к задаче примерно с 2004 года. Поворотным моментом стал доклад Кима в июне 2024 года о моментах функций Маргулиса и количественной гипотезе Оппенгейма. Затем последовали совместная работа в Корейском институте перспективных исследований летом 2025 года и весенняя программа SLMath в 2026 году. В марте 2026 года обнаружилась серьёзная ошибка в ключевой оценке. Некоторые отображения ошибочно считались инъективными, то есть не переводящими разные входные точки в одну выходную. Ошибка затрагивала существенную часть доказательства. По словам О, сосредоточенная совместная работа помогла преодолеть кризис. Результат объявили в апреле, а затем изложили в статье объёмом 138 страниц.

Forwarded From Последний Пифагоров день XXI века Прошлый Пифагоров день мы отмечали 24.07.25: 24² + 7² = 25². Сегодня, 24.10.26, календарь снова складывается в прямоугольный треугольник: 24² + 10² = 26². Но на этот раз дата особенная: это последний Пифагоров день в XXI веке. Почему? Пусть d — день, m — месяц, а y — две последние цифры года. Для Пифагорова дня d² + m² = y². Календарь накладывает ограничения d ≤ 31, m ≤ 12. Отсюда сразу y² ≤ 31² + 12² = 1105, то есть y ≤ 33. Поэтому искать нужно не среди всех пифагоровых троек, а только среди тех, у которых гипотенуза не превосходит 33. Примитивные пифагоровы тройки задаются формулами Евклида a = p² − q², b = 2pq, c = p² + q² при подходящих p и q. Поэтому достаточно рассмотреть примитивные пифагоровы тройки (a; b; c), для которых c ≤ 33: (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29). Последняя календарю не подходит: оба катета больше 12. Добавляя допустимые кратные остальных, получаем ровно восемь троек: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (9; 12; 15), (8; 15; 17), (12; 16; 20), (7; 24; 25), (10; 24; 26). Некоторые из них дают две даты: катеты можно поменять местами, если оба не превосходят 12. Поэтому всего за столетие получается ровно 12 Пифагоровых дней. А последняя допустимая тройка — 10² + 24² = 26². Поэтому после сегодняшнего 24 октября 2026 года Пифагоровых дней в XXI веке уже не будет. Следующий наступит только 4 марта 2105 года: 4² + 3² = 5². Любопытно, что если ослабить определение и разрешить двум последним цифрам года быть не обязательно гипотенузой, а любым числом пифагоровой тройки, то раньше появится 5 апреля 2103 года. Но это уже другая игра с календарём.

Тысяча гипотез Суня и математический прогресс с ИИ Что составляет математический прогресс, если всё больше вычислений можно поручить машине? Для Суня Чживэя, профессора Нанкинского университета, существенная часть ответа заключается в постановке новых вопросов. Он подготовил сборник более чем из 1000 нерешённых гипотез и предложил научному сообществу искать доказательства. Как сообщает South China Morning Post, сборник занимает более 400 страниц, а премии за решение некоторых задач Сунь готов выплачивать из своей зарплаты. Сунь занимается теорией чисел. В его представлении интуиция помогает обнаружить новый вопрос, а логика позволяет его решить. Освоение известных формул и доказательств необходимо для обучения, но исследованию нужны ещё и гипотезы, задающие направление работы. Поэтому свою инициативу он адресует всему математическому сообществу. Вычислительные инструменты заинтересовали Суня в 2005 году. В 2009-м он освоил Mathematica и получил возможность проверять тысячи частных случаев. Здесь существенно различие между проверкой отдельных случаев и доказательством гипотезы. В первом случае исследователь изучает выбранные примеры; требование найти доказательство этим не снимается. Теперь Сунь использует и ИИ, поручая ему рутинные расчёты и работу над сложными задачами. Он направляет поиск и отключает доступ к интернету, чтобы модель не узнала о нерешённом статусе задачи и не отказалась над ней работать. Так Сунь описывает свой рабочий приём, а не гарантию успеха. Он сравнивает ИИ с эрудированным и прилежным аспирантом и рассчитывает, что автоматизация освободит время для новых методов и теорий. По его оценке, способность формулировать вопросы остаётся определяющей для науки, а ИИ не может решить любую математическую задачу. Различие между полученным ответом и развитием математического знания обсуждается и в открытом письме Math and AI. Его подписали 25 лауреатов медали Филдса, о чём рассказал РБК. Подписанты отмечают, что компании используют решение известных задач как показатель возможностей моделей. Для математиков главная цель состоит в концептуальном понимании, новых методах и идеях. Механизм превращения решения в общее знание вполне конкретен. Результат обсуждают, изложение упрощают, новые приёмы связывают с предыдущими исследованиями. Затем эти идеи могут войти в учебники и найти применение в других областях. Авторы письма опасаются, что поспешные объявления об ИИ-результатах не оставляют времени на надлежащее изложение, выделение новых методов и признание предшествующих работ. Возникают также вопросы об авторстве и заимствованиях. При этом подписанты признают, что ИИ способен ускорять исследования. Поводом для этой дискуссии стало и заявление OpenAI о решении проблемы существования и гладкости решений уравнений Навье — Стокса, одной из задач тысячелетия. Подробности заявления включали сообщение компании о формализации доказательства и его проверке в системе Lean. Это заявленный компанией результат. Тристан Бакмастер выразил подозрения относительно использования наработок его совместного проекта с Левентом Алпёге. В своём публичном заявлении, о котором сообщил РБК, он также рассказал о предложениях исключить коллегу из авторов. OpenAI отрицала знакомство с их работой до её обнародования. Сам Бакмастер подчеркнул, что не видел доказательства компании и не утверждает, что она использовала их черновики. Подозрения нельзя считать установленным заимствованием. Инициатива Суня возвращает разговор к тому, с чего начинается исследование. Его сборник предлагает вопросы для дальнейшей работы. Вычисления помогают исследовать частные случаи, а ИИ, по его замыслу, освобождает время для методов и теорий. Обсуждение авторства и передачи знаний дополняет эту картину конкретным требованием научного сообщества, чтобы за быстрым получением результата следовала работа по его объяснению и включению в математику. Источник Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #Математика #Гипотезы #ИскусственныйИнтеллект #Доказательства

Часть 2 из 2 Три экспериментальных сравнения уточняют практическую пользу метода. В первом участвовали 48 взрослых самцов линии Sprague-Dawley. Десять дней подряд им вводили физраствор в брюшную полость. В группах с игровым обращением непосредственно до и после процедуры проводили двухминутные сеансы щекотания. По сравнению с присутствием пассивной руки сигналов 50 кГц перед инъекцией и после неё было больше, особенно у животных с опытом щекотания в молодом возрасте. Но непосредственно во время введения частота сигналов снижалась до 15 ± 1,4 в минуту. Величина после ± здесь обозначает стандартную ошибку среднего, то есть неопределённость оценки среднего, а не разброс показателей отдельных животных. В момент введения вариант обращения не влиял на частоту сигналов. Во втором сравнении 96 молодых самцов фиксировали с инъекцией физраствора или без неё. Щекотание проводили до процедуры, после, и до, и после либо не проводили. Во время фиксации все группы с игровым обращением давали больше сигналов 50 кГц, чем группа без него. При этом применение до процедуры превосходило применение только после неё. Щекотание перед фиксацией также уменьшало число слышимых криков относительно отсутствия щекотания. Это свидетельствует о переносе положительной реакции на последующую манипуляцию, но не об исчезновении дискомфорта. Третье сравнение отделяет привыкание от положительного контакта. Для 32 самцов сопоставили минимальное обращение при смене клетки, ежедневное присутствие пассивной руки, щекотание и удерживание на спине. После инъекции животные из групп пассивной руки и щекотания дольше вставали на задние лапы рядом с исследователем, чем животные из двух других групп. Однако при предъявлении знакомой или незнакомой руки щекотавшиеся крысы издавали больше сигналов 50 кГц, чем привыкшие к пассивной руке. Присутствие руки помогало привыкнуть к человеку, а игровой контакт давал более выраженные признаки положительной реакции. Единой реакции для всех животных нет. Молодые крысы обычно отвечают сильнее, хотя польза наблюдается и у взрослых; данные о различиях между полами непоследовательны. Среди факторов, влияющих на ответ, отмечены индивидуальная игривость, прежний опыт, знакомство с человеком, подстилка, освещение и недавний стресс. Влияние некоторых условий и особенностей исполнения пока исследовано недостаточно или описано только в неопубликованных наблюдениях. В большинстве экспериментов при одиночном содержании положительная реакция была сильнее, чем при групповом. Когда крыс щекотали вместе с соседями в домашней клетке, эта разница уменьшалась. Короткое игровое обращение может снижать избегание человека и смягчать неприятный опыт, а стандартизованный протокол позволяет исследовать положительные эмоциональные состояния. При этом две минуты контакта, по оценке авторов, слишком короткий срок, чтобы воспроизвести все эффекты социальной игры. Молодые крысы играют друг с другом примерно час в день. Более долгие или дополнительные сеансы обсуждаются как возможность при сохранении положительной реакции, а не как установленный оптимум; они не должны мешать сну и питанию. Метод не устраняет дискомфорт инъекции, а перенос результатов на другие медицинские и экспериментальные процедуры требует отдельных исследований. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #ПоведениеЖивотных #Эксперимент #Измерения #Нейробиология

Часть 1 из 2 Как игровое обращение меняет реакцию лабораторных крыс Можно ли сделать контакт лабораторной крысы с человеком положительным опытом? Обычное обращение с животным способно вызвать страх и сопротивление, повысить риск травм и повлиять на достоверность экспериментальных данных. Для приучения используют присутствие человека, поглаживание, удерживание и лакомства, но эффективность этих способов неодинакова. В статье о стандартизованной технике щекотания предложен игровой способ взаимодействия и описано, как оценивать его результат. Здесь «щекотание» означает воспроизведение двух элементов крысиной возни. Один участник касается загривка другого, а тот переворачивается на спину и оказывается под партнёром. Человеческая рука чередует контакт с загривком и краткое переворачивание с мягкой стимуляцией живота. Имитация неполна, поскольку крыса не может поменяться с рукой ролями. Однако животные сами ищут такой контакт, а у молодых крыс щекотание может служить наградой при обучении. Это поддерживает предположение, что оно задействует механизмы вознаграждения, сходные с механизмами социальной игры. Ключевая деталь состоит в чередовании короткого контакта и освобождения. После повторного неигрового удерживания на спине крысы проявляли меньше интереса к человеку, чем после щекотания. Поэтому результат зависит от исполнения, а не просто от прикосновения к определённой части тела. Как измерить реакцию животного? Авторы используют звуки и поведение. Ультразвуковые сигналы около 22 кГц обычно связаны с ожиданием неприятного события и тревогой. Сигналы около 50 кГц, особенно трели с меняющейся частотой, характерны для вознаграждающих ситуаций. Слышимые человеком крики обычно служат признаками боли и дискомфорта. Число сигналов 50 кГц за единицу времени используют как количественный показатель положительной эмоциональной реакции. Его дополняют наблюдением за приближением к руке, преследованием её, облизыванием и лёгким игровым покусыванием. Если в паузах крыса остаётся неподвижной, авторы рекомендуют пересмотреть технику, например сократить длительность или число переворачиваний. Для воспроизводимости протокол задаёт условия и время. Нужна знакомая или предварительно освоенная ёмкость без препятствий, с подстилкой и пространством для движения. Тонкая перчатка позволяет чувствовать давление и ответ животного. Для исследовательской записи используют ультразвуковой микрофон, для контроля реакции можно применять детектор, настроенный на 50 кГц. Описанные эксперименты проводились по одобренным процедурам работы с лабораторными животными. Двухминутный сеанс включает четыре чередования 15 секунд без контакта и 15 секунд игры. В игровых интервалах контакт с загривком сменяется кратким удерживанием на спине, по 2–4 секунды, с последующим освобождением. Движения быстрые, но не силовые. Области крупа избегают, поскольку она становится мишенью при агрессивных взаимодействиях. Реакция животного остаётся критерием правильного исполнения. Работать можно и с группой. У пары игра с одной крысой совпадает с паузой у другой. Для тройки предусмотрено участие второй руки, а для больших групп общее время при необходимости увеличивают. Каждая крыса получает четыре игровых интервала с паузами. Таким образом, протокол допускает работу с животными, содержащимися вместе. К моменту публикации щекотание использовали более чем в 56 экспериментах, в 22 его сравнивали с другими способами обращения. Часто наблюдали больше сигналов 50 кГц, более активное приближение и облегчение манипуляций. В девяти экспериментах сокращалось время до приближения. Отдельные работы сообщали о меньшем замирании после выработки условного страха и более частых выходах в центр открытой площадки у крыс, содержавшихся поодиночке. На уровне мозга также описаны изменения активности генов в гипоталамусе и усиление образования новых нейронов в зубчатой извилине, части гиппокампа. Это результаты отдельных исследований, а не установленное объяснение всех поведенческих эффектов.

Часть 2 из 2 Автор проверял и возможные укрытия для редких признаков. При обучении называть конкретную фотографию зонта пчелой включался уже существовавший путь распознавания пчелы. Удаление слабейших 75% активаций Medium ConvNeXt снизило точность с 72% до 71%; удаление сильнейших 7% с той же суммарной величиной снизило её до 4%. Слабые сигналы часто уточняли выбор между близкими альтернативами. Однако их роль зависит от слоя, и считать их повсеместно ненужными нельзя. В языковых моделях понять функцию нейрона мешает не только сложность темы. Нейрон может реагировать на запятой, где собирается смысл предыдущего текста. Если смотреть лишь на знак препинания или слишком короткий контекст, связная функция выглядит бессистемной. В предварительном аудите Qwen3-32B авторы оценили примерно 90% полюсов нейронов как имеющие одну основную функцию, иногда с небольшими связанными ответвлениями. Полюс обозначает сторону реакции, сильную положительную или отрицательную. Доля зависит от порогов и от того, какие близкие функции считать одной. Архитектура добавляет собственные ловушки. В нейронах SwiGLU взаимодействуют управляющий множитель и значение. Когда оба отрицательны, выход получается положительным, хотя примеры обычно связаны с отрицательным полюсом. Список только положительных откликов способен скрыть настоящую функцию. Удаление этого режима улучшало большинство проверенных показателей, но ухудшало некоторые задачи рассуждения; причина пока не выяснена. В моделях со смесью экспертов вычисления распределяются между блоками, которые выбирает механизм маршрутизации. Авторы находят у таких блоков тематическую специализацию, сужающуюся с глубиной. Объяснение через рекурсивное обобщение на уровне экспертов пока остаётся предположением. Тем не менее устройство этих блоков даёт дополнительный контекст для понимания отдельных нейронов. Связную историю ещё нужно испытывать. В медицинской задаче удаление четырёх нейронов диагностического узла Qwen3-32B заставило модель спрашивать о зуде, признаке другого заболевания печени при беременности. В другом тесте один агент описывает функцию нейрона, а второй только по этому описанию создаёт активирующий пример. Иногда такой пример возбуждал нейрон сильнее любого найденного в десяти миллиардах токенов. Но успех проверяет лишь одну область функции. Поэтому авторы дополнительно группируют входящие пути и испытывают их отдельно, отключая остальные. Остаётся вопрос об остаточном потоке, общем представлении, которое передаётся между слоями. При его сужении в зрительной модели точность падала, а представления становились шумнее. Полностью исключить переплетение представлений Каммарата не берётся, но в проведённых исследованиях оно не стало препятствием для анализа. Предлагаемая программа состоит в масштабировании прямого изучения нейронов и цепей. Понимание соседних механизмов ограничивает возможные объяснения и помогает проверять новые. Эти опыты дают основания исследовать сеть без обязательного предварительного «распутывания». Они не доказывают ни невозможность суперпозиции во всех сетях, ни полную прозрачность современных языковых моделей. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #Нейросети #Интерпретируемость #МашинноеОбучение #Обобщение

Часть 1 из 2 Нужно ли распутывать нейросеть, чтобы понять её вычисления Почему один нейрон реагирует на кошек и автомобили? В эссе Neural Networks Are Already Clean Ник Каммарата пересматривает объяснение через суперпозицию. Здесь этим словом он называет упаковку несвязанных признаков в одни нейроны, когда признаки редко мешают друг другу. Его гипотеза состоит в том, что многие примеры такой упаковки лучше объясняются обобщением, недостатками обучения и ошибками инструментов. От объяснения зависит способ исследования. Можно изучать собственные нейроны сети и связи между ними. Другой путь предполагает обучение дополнительной модели, например разреженного автоэнкодера, SAE, который представляет активации через набор предполагаемых признаков. Каммарата оспаривает обязательность такого посредника. При этом один признак вполне может представляться совместной работой нескольких нейронов. Такое распределённое представление само по себе ещё не означает произвольного смешения несвязанных вещей. Знаменитый нейрон InceptionV1, реагирующий на кошек и автомобили, автор объясняет общей V-образной формой. Округлые формы вызывают противоположную реакцию. Такое объяснение связывает отклики с различением форм, а не только с названиями объектов. В другой классической цепи автомобиль будто бы прятался среди собачьих признаков. При повторном анализе Каммарата обнаружил общие позы объектов и дальнейшую специализацию на автомобилях, но не считывание спрятанной комбинации. Ошибке помогала визуализация. При поиске изображения, максимально возбуждающего нейрон, оптимизация часто выбирала доступный путь через изображения собак. Связь между реакциями может возникать и постепенно. Нейрон реагирует на «iy», затем на «diy», затем на «do it yourself», где исходного сочетания букв уже нет. Автор называет это рекурсивным обобщением. Каждый переход связан с предыдущим, хотя крайние случаи выглядят далёкими. Промежуточные состояния обучения позволяют проследить, как растут такие ответвления. Но не всякая путаница объясняется обобщением. По приблизительной оценке автора, улучшенные инструменты сделали понятными около 50% нейронов последнего слоя исходной InceptionV1. Переобучение той же архитектуры с современной регуляризацией дало около 70%, а ConvNeXt сопоставимого размера на тех же данных около 99%. Здесь изменения архитектуры, созданные для улучшения обучения, сопровождались более понятными функциями нейронов. Их можно посмотреть в интерактивном обозревателе модели. Размер тоже меняет картину. В трёх ConvNeXt, различающихся числом параметров примерно в 300 раз, меньшие сети давали более грубые различения, а большие более узкие. При нехватке места один нейрон мог охватывать широкую категорию автомобилей; при большем размере появлялись отдельные специализации. Для более жёсткой проверки слой InceptionV1 сократили с 480 до 10 каналов, то есть с 480 до 10 выходных компонент в каждой пространственной позиции. Сеть обучили заново, причём сигнал не мог миновать этот слой. Вместо набора узких детекторов кривых получился более общий детектор кривых и петель. SAE не восстановил прежние узкие детекторы. Его реконструкция была несовершенной, поэтому этот опыт поддерживает объяснение потерей детализации, но не доказывает невозможность скрытого кодирования. Сжатие последнего слоя ConvNeXt дало сходное расширение функций нейронов. В других зрительных опытах SAE в основном воспроизводили отдельные нейроны или собирали их контекстные сочетания. На исследованном последнем слое 88% активности SAE приходилось на почти копии нейронов. При этом разложения помогали описывать содержимое изображений, особенно у маленьких моделей. Вопрос касается необходимости предварительного разложения, а не его бесполезности вообще.

Почему надёжная кривая не защищает слабый ключ Секретный ключ, равный 4, можно раскрыть и на эллиптической кривой с примерно 2^384 точками. История с сертификатами eMudrha показывает, почему происхождение параметров, трудность математической задачи и выбор секрета требуют отдельных проверок. Кривые Национального института стандартов и технологий США (NIST) оказались в центре двух новостей. Сначала исследователи Anthropic восстановили происхождение исходных значений, из которых получали параметры кривых. Затем обнаружились сертификаты eMudrha с чрезвычайно малыми секретными ключами. Исходные значения предоставило Агентство национальной безопасности США (NSA), но точная процедура их получения долго оставалась неизвестной. Подозрения усиливала реальная закладка агентства в другом продукте, генераторе псевдослучайных чисел. Сама по себе она не доказывала наличия закладки в кривых. Как описано в истории реконструкции, разработчик вспоминал хеширование юмористической английской фразы, но забыл подробности. Восстановленная процедура использовала дату. Это сняло конкретное подозрение в злонамеренном происхождении параметров, но не доказывает отсутствия любых возможных уязвимостей. Вторая новость касается применения кривой P-384. Её точки удовлетворяют уравнению y² = x³ − 3x + b (mod p), p = 2^384 − 2^128 − 2^96 + 2^32 − 1. Здесь b задаёт фиксированный коэффициент, а координаты вычисляются по простому модулю p. Точек примерно 2^384. При этом классическая стойкость P-384 оценивается в 192 бита. Размер поля и криптографическая стойкость не совпадают. Обозначим базовую точку через G, секретное целое число через e, открытый ключ через Q. Тогда Q = eG. Умножение здесь означает сложение точки G с собой e раз по правилам группы точек кривой. В степенной записи это та же групповая операция, а не обычное возведение чисел в степень. По известному e вычислить Q практически выполнимо. Восстановление e по G и Q называется задачей дискретного логарифмирования. Её предполагаемая вычислительная трудность при корректном выборе ключа лежит в основе защиты. У eMudrha использовались секреты 4, 56, 115, 155, 156, 230 и 237. Проверяем G, 2G, 3G, 4G и сравниваем с открытым ключом. Совпадение Q = 4G раскрывает секрет на четвёртой проверке. Все перечисленные значения находятся среди первых 237 положительных кандидатов. Такой перебор не решает эффективно общую задачу дискретного логарифмирования, но справляется с этими ключами. Прозрачное происхождение кривой не исправляет неудачный выбор секрета. Для раскрытия перечисленных ключей достаточно обычных вычислений. Если появятся криптографически значимые квантовые компьютеры, они позволят решать саму задачу дискретного логарифмирования и подорвут математическую основу этой защиты. Это отдельная угроза, не причина описанной компрометации. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #Криптография #ЭллиптическиеКривые #ТеорияЧисел #Безопасность

Джон Пардон о понимании математики и ИИ Зачем искать доказательство самостоятельно, если его может найти машина? В интервью Пегги Инь Джон Пардон связывает этот вопрос с тем, как возникают новые идеи и чему нужно учить математиков. Его привлекают задачи без видимого подхода. Первое решение он сравнивает с прокладыванием пути через лес. Позже другие находят удобный маршрут и строят дорогу. Так решение становится основой теории, которая позволяет лучше понять, почему оно работает. Примером служит работа о двух способах подсчёта кривых. Пардон сообщает, что доказал их соответствие, предполагавшееся около двадцати лет. На момент интервью статья ещё рецензируется. Замысел пришёл из топологии, где можно гибко перестраивать объекты. Пардон предлагает образ поделки из бумаги, которую разрезают, складывают и склеивают. В алгебраической геометрии подобные действия гораздо строже ограничены. Топологическая идея подсказала, зачем нужны сложные средства этой области; затем пришлось переводить рассуждение на её язык и обеспечивать его работу при этих ограничениях. Опыт помогает искать путь, но привычные ожидания могут скрыть неожиданную возможность. Поэтому Пардон ценит разбирательство с нуля, даже когда готовое объяснение доступно. Он слушает доклады вне своей специализации, играет на виолончели и учит китайский. Переключение занятий, по его словам, даёт энергию, хотя сознательной связи между увлечениями он не проводит. ИИ оказался полезен ему прежде всего при вычитывании доказательств. Модель замечает пропущенное ограничение, например слово «конечные». Утверждение обо всех конструкциях некоторого типа и утверждение только о конечных имеют разную область действия. Способность восстановить нужное условие по контексту Пардон воспринимает как понимание. Его оценка «на 100%» выражает эту уверенность, но не устанавливает безошибочность модели. ИИ также доказал для него несколько нетривиальных вспомогательных утверждений, возможно, уже доступных в литературе. Прорывного собственного результата с ИИ он пока не получил. Другой эксперимент пока не завершён. Пардон пытается переписать с помощью модели трудночитаемую статью возрастом 10–15 лет на современном языке. Речь идёт о сотнях страниц и многократном обмене запросами. При успехе он допускает, что не считал бы себя соавтором, если основную работу выполнит машина. По оценке Пардона, модели уже проводят длинные рассуждения и быстро перебирают возможности, но крупных концептуальных прорывов ИИ он пока не отмечает. С результатами, которых люди не понимают, нужна осторожность. Самостоятельное решение сохраняет личную ценность, как участие в забеге, даже если другие быстрее. Обучение тоже остаётся необходимым. Родители и учителя открывали Пардону незнакомые направления. Теперь он сам сталкивается с разрывом между освоенным приёмом и пониманием. Студент решает типовые задачи, но небольшая перемена ставит его в тупик. Учителю нужно найти недостающую связь и направить интерес ученика. Простые задачи готовят человека к сложным; любопытство и способ мышления нужны и тогда, когда отдельные навыки устаревают. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #Математика #Доказательства #Мышление #Обучение #ИскусственныйИнтеллект

Квазигипотеза Римана и две версии ИИ-доказательства Что даст сужение области, где могут находиться нули дзета-функции? Среди 377 результатов, объявленных OpenAI 6 октября 2026 года, заявлено доказательство квазигипотезы Римана. Оно обещает существенный прогресс в изучении простых чисел, но не решает полную гипотезу. Дзета-функцию вводят через ряд ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + …, затем расширяют область её определения математическим продолжением. Комплексный аргумент s изображают точкой плоскости; Re(s) обозначает его действительную часть. Нули функции — значения s, при которых ζ(s) = 0. Помимо тривиальных нулей −2, −4, −6, … есть нетривиальные. Гипотеза Римана помещает их все на вертикальную прямую Re(s) = 1/2. Почему это важно для арифметики? Простые числа в среднем встречаются всё реже, а расположение нулей связано с законом этого разрежения. В 1896 году исключение нулей на границах полосы между 0 и 1 позволило доказать теорему о распределении простых чисел. Полная гипотеза Римана дала бы строгий контроль над отклонениями от предсказываемого ею среднего поведения. Вычисления подтвердили положение первых 12 триллионов нетривиальных нулей на прямой 1/2. Но конечная проверка не доказывает утверждения обо всех нулях. Квазигипотеза требует заключить все нетривиальные нули в единую полосу, более узкую, чем полоса между 0 и 1. Чем она уже, тем больше можно сказать о распределении простых чисел. Полоса всё ещё допускает нули вне средней прямой, поэтому до полной гипотезы остаётся принципиальный шаг. У заявленного доказательства две версии. Работа от 30 сентября 2026 года занимает 199 страниц и заявляет границы между 1/8 и 7/8. По сообщению Quanta, она формально проверена в Lean. Версия от 5 октября занимает 49 страниц и заявляет более слабый результат, 1/12 < Re(s) < 11/12. Формальной проверки у неё пока нет. Первая полоса уже второй; меньший объём второй работы не означает более сильной оценки. Александр Данн описывает доказательство как неожиданное соединение известных идей. Оно использует, в частности, техники Радзивилла и Данна. При этом Максим Радзивилл резко критикует ясность обеих работ. Исследователи сосредоточились на короткой версии, которая, по предварительной оценке, использует сходные техники и имеет сходные последствия. Аргумент изучают Питер Сарнак, Радзивилл и Данн. Радзивилл изложил основную идею короткой работы примерно на половине страницы, но проверка деталей продолжается. Если результат подтвердится, он позволит доказать множество утверждений, прежде зависевших от гипотезы Римана. Сама полная гипотеза остаётся открытой. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #ТеорияЧисел #ГипотезаРимана #ПростыеЧисла #Доказательства

Математические идеи Гильберта стали частью языка квантовой механики, но освоение новой физики давалось ему непросто. С этим связан эпизод о молодом Джоне фон Неймане. По воспоминаниям ассистента Гильберта, фон Нейман за несколько дней изложил новую квантовую механику Гейзенберга в аксиоматической форме. Гильберт, которому прежде было трудно в ней разобраться, был восхищён этим объяснением. Позднее фон Нейман помог построить строгий математический фундамент квантовой механики на основе гильбертовых пространств. В этой истории есть любопытная перекличка между математикой и физикой. Идеи Гильберта вошли в основание новой физической теории, а разобраться в ней самому Гильберту помог представитель следующего поколения математиков. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #ИсторияМатематики #Гильберт #ФонНейман #КвантоваяМеханика

В январе 1955 года Джон Нэш, тогда ассистент-профессор MIT, отправил в Агентство национальной безопасности США серию рукописных писем с предложением новой машины шифрования. За устройством стоял математический вопрос, который оказался важнее судьбы самого проекта. Может ли сообщение быть лёгким для шифрования и чрезвычайно трудным для расшифровки без секретного ключа? Нэш предложил связывать безопасность с ростом вычислительных затрат при удлинении ключа. Его интересовало, насколько быстро увеличивается работа, необходимая для взлома. Он предположил, что для достаточно сложных систем шифрования усилия по обнаружению ключа обычно будут расти экспоненциально с его длиной. Существенна здесь именно зависимость трудоёмкости от длины ключа. Такой взгляд связывает защиту сообщения с вычислительной сложностью поиска секрета. В письмах Нэша эта идея появилась задолго до её дальнейшего развития в теории вычислительной сложности и стала ранним выражением принципа, центрального для современной вычислительной криптографии. Нэш опасался, что рукописное предложение не получит должного внимания. В одном из писем он напомнил, что преподаёт математику в MIT, упомянул свои исследования в теории игр и попросил криптографов тщательно изучить проект. АНБ действительно рассмотрело машину. В ответе от 3 марта 1955 года агентство признало изобретательность идей, но заключило, что система не соответствует его требованиям к безопасности. Эта оценка относится к конкретному предложенному шифру. Более широкая гипотеза о росте затрат на взлом тоже требует осторожности. Нэш выдвинул предположение об экспоненциальной трудности обнаружения ключа, а не доказал её. Его рассуждения не решили проблему P против NP, и предложенная машина не установила современную криптографическую безопасность. Переписку рассекретили в 2011 году. Общедоступной она стала в 2012-м, когда Национальный криптологический музей открыл выставку писем Нэша. Её математическое значение связано с ранней постановкой вопроса о вычислительной цене взлома. Конкретную машину АНБ отклонило, а идея оценивать защиту через рост необходимых вычислений предвосхитила один из основных принципов современной криптографии. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #Криптография #ИсторияМатематики #ВычислительнаяСложность #ДжонНэш

С 1 октября 2026 года arXiv ограничивает каждого отправителя двумя подачами за календарный месяц. Одновременно у него может быть не больше трёх активных подач. Месячная квота общая для всех тематических категорий, включая математические. Правила и их обоснование опубликованы в объявлении arXiv https://blog.arxiv.org/2026/10/01/updated-rate-limit-policy/ Масштаб нагрузки заметен по сентябрьским показателям. В 2016 году репозиторий получил 9 869 работ, в 2024-м уже 20 569, а в 2026-м 40 363. Последний месячный поток породил почти 9 000 обращений к сотрудникам и модераторам. За два года число подач почти удвоилось, а в категории cs.AI выросло более чем в шесть раз. arXiv называет инструменты ИИ одним из факторов роста. Они ускоряют отдельные этапы исследований и подготовки работ. Прежде модераторы могли ориентироваться на практически различимый предел того, сколько независимых работ способен подготовить автор, и ограничивать тех, кто существенно его превышал. С развитием ИИ этот ориентир стал менее определённым. Само применение ИИ разрешено. Автор должен раскрыть его использование, а исследование должно представлять научный интерес и вносить вклад в свою область. Эти требования закреплены в политике использования генеративных инструментов https://info.arxiv.org/help/moderation/index.html#policy-for-authors-use-of-generative-ai-language-tools При этом модераторы сообщают о росте числа малосодержательных работ узкого охвата, искусственном дроблении одного исследования на несколько статей и увеличении потока насыщенных текстом рукописей, написанных ИИ. Допустимость инструмента не освобождает работу от требований к научному содержанию. Проверкой занимаются добровольные модераторы. По оценке arXiv, относительно небольшая группа авторов отправляет много низкокачественных работ и занимает непропорционально большую долю их времени. В результате качественные рукописи могут задерживаться на дни или недели. От подаваемой работы требуется оригинальное, новое, значимое и самостоятельное исследование, соответствующее тематике репозитория. Лимит призван справедливее распределить время проверки, защитить научный корпус и побудить авторов тщательнее отбирать работы для подачи. Для планирования важно различать две квоты. Две подачи за месяц учитываются независимо от решения модераторов. Если обе работы отклонены, месячный лимит всё равно исчерпан, поскольку их рассмотрение уже потребовало времени. Работы прошлого месяца, оставшиеся в статусе on hold, не расходуют месячную квоту нового месяца, но продолжают занимать места среди трёх активных подач. Если таких работ две, для дополнительной активной подачи остаётся только одно место. Смена месяца сама по себе не освобождает активную квоту. Ограничения относятся только к отправителю рукописи. Подача совместной статьи не расходует квоты остальных соавторов. Если отправитель удаляет работу до её объявления, она не учитывается ни в месячном, ни в активном лимите. Для накопившихся работ и конференционных сроков arXiv рекомендует заранее планировать подачи, а соавторам согласовывать их между собой. Ограничения частоты подачи существовали и раньше, преимущественно по усмотрению модераторов. Предел трёх активных подач действует с 2024 года. Теперь единая месячная квота введена как временная мера, чтобы дать arXiv время выработать практики работы с более мощными инструментами ИИ и улучшить процедуры модерации. Репозиторий намерен отслеживать последствия для авторов, читателей и корпуса работ и при необходимости менять правила. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #НаучныеПубликации #Препринты #ИскусственныйИнтеллект #ОткрытаяНаука

Три призрачные галактики и загадка тёмной материи Примерно в 65 миллионах световых лет от Земли находятся DF2, DF4 и DF9. Эти рассеянные галактики с небольшим количеством звёзд выглядят тусклыми, почти призрачными. По оценкам исследователей, во всех трёх мало тёмной материи. Основанием для этого вывода стали движения звёзд. Наблюдения на нескольких телескопах позволили использовать их как показатель массы галактик и оценить содержание тёмной материи. Поэтому важно различать два результата наблюдений. Тусклый облик говорит о скудном звёздном населении, а вывод о недостатке тёмной материи связан с оценками массы по движениям звёзд. Для большинства галактик характерна совсем другая картина. В них тёмная материя доминирует, её гравитация притягивает обычное вещество, способствует образованию звёзд и помогает удерживать галактические структуры вместе. Возникает вопрос, как сформировались три системы, в которых этого компонента так мало. Предложенный сценарий начинается со столкновения двух обычных галактик. Их газ и пыль перемешались и собрались в сгустки, тогда как тёмная материя прошла через область столкновения и продолжила движение. Из оставшегося обычного вещества могли возникнуть три новые галактики, обеднённые тёмной материей. В этом объяснении связаны обе особенности DF2, DF4 и DF9. Разделение компонентов оставило их с малым количеством тёмной материи. Без её дополнительного притяжения формирование звёзд было затруднено, поэтому звёздное население получилось скудным. Наблюдаемые свойства трёх галактик согласуются с таким сценарием, хотя сама история столкновения остаётся гипотезой их происхождения. Именно разделение компонентов делает этот случай важным для более общего вопроса. Некоторые исследователи предлагают объяснять эффекты, приписываемые тёмной материи, изменением нашего описания гравитации. Если же тёмная материя способна пространственно отделиться от газа и пыли, а её отсутствие меняет дальнейшее образование звёзд, это поддерживает представление о ней как о самостоятельном физическом компоненте. В рамках предложенного сценария её дефицит становится косвенным аргументом в пользу её существования. Но такой аргумент ещё не раскрывает состав тёмной материи. От предложения Фрица Цвикки в 1930-х годах и исследований Веры Рубин в 1970-х поиск привёл к нескольким возможным кандидатам. Среди них стерильные нейтрино, слабо взаимодействующие массивные частицы WIMP и первичные чёрные дыры. Какой из вариантов верен, неизвестно, и прямого обнаружения тёмной материи пока нет. История DF2, DF4 и DF9 помогает поставить более конкретный вопрос о её природе. Может ли невидимый компонент отделиться от обычного вещества и оставить после себя галактики, которым трудно образовывать звёзды? Сценарий столкновения объясняет их свойства именно таким разделением, не устанавливая, из чего состоит отделившийся компонент. Подробнее о трёх галактиках и этой гипотезе рассказывает Quanta Magazine. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #ТёмнаяМатерия #Галактики #Астрофизика #Гравитация

У тетраэдра любые две грани имеют общее ребро. Существует ли другой многогранник, у которого каждая грань соседствует со всеми остальными? Да. У многогранника Силашши семь граней, и каждые две имеют общее ребро. Таким образом, попарное соседство граней возможно и за пределами тетраэдра. Есть и восьмигранные конструкции с попарным соседством граней, но здесь существенна оговорка о том, что считать многогранником. Одну такую конструкцию нашли G. Röst и V. Vígh, а ещё раньше другой подобный восьмигранник построил Руслан Мижаев. В этих примерах некоторые пары граней пересекаются по двум рёбрам. Требования «иметь общее ребро» и «пересекаться ровно по одному ребру» различаются. Два общих ребра удовлетворяют первому условию, но нарушают второе. Поэтому восьмигранные конструкции отвечают на вопрос о попарном соседстве лишь при определении многогранника, допускающем такое пересечение граней. Если определение это запрещает, они уже не подходят. Наши каналы MAX · Telegram · Дзен #геометрия #многогранники #тетраэдр #Силашши